深蓝黑背景封面。左侧是一张决策分叉图：左端灰色方块标注「手里的确定值 V，现在收手就能拿走」，分出两条箭头，上路青色方块写「收手：拿确定值 V」，下路紫色方块写「继续：拿期望值 E」。下方深色面板写决策规则「E > V 就继续，否则收手」，青色小字「继续的期望 E，就是这条决策的阈值」，灰字「多步决策从终点倒推：每步的 E 逐级回传（逆向递推）」。再下两行灰字注「把直觉问题『还看不看』翻译成算术问题『E 是多少』」「E 的算法里要包含『之后也都按最优策略行动』」。右侧大标题「什么时候该收手：期望决策与最优停止怎么想」，副标题「给『再看一次』定价：继续的期望就是阈值」，小注「阈值策略 × 逆向递推 × 最优停止」。左上角标注「知识延伸 · 期望决策」，右上角圆角胶囊写「Day 09 · 12-06」。 图 1：本文封面，收手与继续的决策分叉。

「扔骰子返现，不满意可以再扔一次」这类题的完整计算，这个系列昨天的真题解析已经做过——结论是 4.25 元，分界点 3.5。那道题背后的通用框架比答案本身值钱：凡是「看完结果可以选择再来一次」的题目，都是同一套期望决策框架的实例。这篇把框架抽出来讲透，以后遇到任何变体都能套。文中所有概率推演均为自证推导，并用蒙特卡洛模拟验证。

通用框架只有三步：建模、求解、比较。

第一步建模：把局面抽象成手里的确定值 V 和两个选择——收手拿 V，继续拿期望 E。第二步求解：算出 E。这里有个容易漏的关键：E 的定义里必须包含「之后也都按最优策略行动」，否则你算的是「盲目继续」的价值，不是「最优继续」的价值。第三步比较：E 大于 V 就继续，否则收手。框架的全部威力来自这个观察——当继续的期望与当前手牌无关时（比如重扔骰子的期望不取决于你刚才扔了几点），E 就是一个常数，决策规则必然塌缩成一条阈值：手里的值超过 E 就停，低于 E 就继续。这就是为什么这类题的最优策略总是「一个分界线」的形式。骰子题里 E 等于重扔的期望 3.5，所以分界点落在 3.5：超过就收下，不够就再来。

多步决策：从终点倒着算。

上面是只剩一次机会的情形。如果可以选择两次、三次甚至任意次，E 就不再是常数——每一次「继续」的价值里，还嵌着后面每一步的最优选择。处理办法是逆向递推：定义 V(t) 为第 t 步的最优价值，则 V(t) 等于「停在 t 的收益」与「V(t+1) 的期望」取大者。递推没有起点怎么办？从终点开始：最后一次机会没有「之后」，它的价值就是裸期望；算出来往回带一层，倒数第二步的 E 就有了；逐级回传直到第一步。每一步的分界阈值会随剩余机会数变化——机会越多，继续的期权价值越高，阈值也越高，直觉上就是「手里牌还多，可以更挑剔」。面试里遇到「可以重抽 k 次」的变体，答出「从最后一次机会倒推、每级阈值递增」就站住了。

经典特例：最优停止与 37% 法则。

框架有一个著名的特例：n 个候选按随机顺序依次出现，每个看完必须当场决定收或不收，不可回头，目标是选中全场最佳——这就是最优停止问题（秘书问题）。它没有「确定值 V 对期望 E」的形态，因为收益不是点数而是「是否选中最佳」，但分析骨架相同：把过程分成观察期与行动期。最优策略是放掉前 r 减 1 个候选、只记录其中最优者作为基准，之后遇到第一个超越基准的就立即收下。数学上可以证明，n 充分大时最优观察比例 r/n 收敛到 1/e，约 37%，而此时选中最佳者的概率也约 37%。用蒙特卡洛验证（Node.js 22.15.0，node secretary.js）：n 取 100、每个观察比例跑 20 万次：

function success(n, r, trials) {
  let win = 0;
  for (let t = 0; t < trials; t++) {
    const arr = Array.from({ length: n }, () => Math.random());
    const best = Math.max(...arr);                       // 全场最佳的分值
    const record = Math.max(...arr.slice(0, r - 1));     // 观察期的最优记录
    let pick = -1;
    for (let i = r - 1; i < n; i++) {
      if (arr[i] > record) { pick = arr[i]; break; }     // 首个超越记录者
    }
    if (pick === best) win++;
  }
  return win / trials;
}

实测输出：

观察前  9 个（r/n=0.10）: 选中最佳概率 22.2%
观察前 19 个（r/n=0.20）: 选中最佳概率 31.9%
观察前 29 个（r/n=0.30）: 选中最佳概率 36.4%
观察前 36 个（r/n=0.37）: 选中最佳概率 36.9%
观察前 39 个（r/n=0.40）: 选中最佳概率 37.1%
观察前 49 个（r/n=0.50）: 选中最佳概率 35.3%
观察前 79 个（r/n=0.80）: 选中最佳概率 18.6%

曲线在 r/n 约 0.37 处见顶、成功率约 37%，与理论值 1/e 吻合。观察太短基准不稳、太长容易把最佳者放过去，37% 是两者的平衡点。

深蓝黑背景概念图。顶部小字「概念图 · 期望决策框架」，主标题「三步把『再看看』算成数：建模、倒推、比较」。上部横向三步流程：① 建模「状态与两个选择：收手 = 确定值 V，继续 = 期望 E」；② 求解「算 E：E 含『之后也最优』，多步从终点倒推」；③ 比较「E 与 V 比大小：E > V 就继续，阈值 = E」。左下面板「多步决策：从最后一个决策点倒着算」：t1 至 tn 五个圆点排成一列，上方紫色箭头标注「倒推方向」从右指左，下方灰色虚线箭头标注「决策发生的真实顺序」从左指右，底部青色公式写「V(t) = max（停在 t 的收益，E[V(t+1) 的最优价值]）」。右下面板「经典特例：最优停止与 1/e 法则」：一条横条分两段，左段紫色写「前 ≈37%：只观察不选，记录最优」，右段青色写「后 ≈63%：首个超越记录者，立即选」；下方三行字「n 个候选顺序出现、不可回头：先放掉前 r−1 个」「最优观察比例 r/n ≈ 1/e ≈ 37%」「按此策略选中最佳者的概率也 ≈ 37%」。最底总结条写「『要不要再看看』的答案是算出来的——把继续的期望 E 估出来，阈值、收手线与观察比例就都有了」，小字补充适用范围：期望算不动时规则要回调到保守阈值。 图 2：三步框架、逆向递推与 37% 法则。

面试怎么用这套框架。

遇到「要不要再看看」类题目，先把直觉翻译成算术：声明手里的确定值 V，明确继续的期望 E 怎么算、是否依赖当前状态。E 与状态无关，直接得出阈值策略；E 依赖剩余机会，声明用逆向递推从终点倒推，并指出阈值随剩余机会递增。如果题目是「只能选一次、不可回头」的形态，识别出最优停止模型，给出观察期加行动期的结构与 37% 法则。最后加一句边界：框架假设期望可算，现实中概率分布估不准时，要把规则回调到更保守的阈值——这句话展示的是工程判断力。你被问过哪道「再看看」的变体题？当时是硬算期望还是套了阈值策略？欢迎分享。