图 1：本文封面，从第一次点数到最优策略的决策流程。
先说明属性：这是一篇笔试真题复盘，题目出自本地历史面试资料整理，与任何公司的当前招聘无关。题面很短：扔一个骰子，扔到几点就返现几元；第一次扔完看到点数后，你可以二选一——直接拿走这个点数，或者再扔一次，但这时只能拿第二次的点数。玩一轮的期望收益是多少？选项里躺着 3.5、4、4.25 好几个干扰项。
一句话结论：最优策略是「第一次扔到 4、5、6 就收下，扔到 1、2、3 就重扔」，期望收益 4.25 元。
解这道题只有一个关键动作：先给「重扔」标个价。
很多人卡住是因为把两次投掷搅在一起算。换个顺序：先问自己，「再扔一次」这个权利值多少钱？第二次投掷是一次普通投掷，期望就是六个点数的平均值：
E = (1+2+3+4+5+6) ÷ 6 = 3.5
于是第一次的决策变成一道比价题：手里的点数和 3.5 比，谁大要谁。扔到 4、5、6，收下更划算；扔到 1、2、3，不如换成期望 3.5 的重扔机会。注意 3.5 不在骰子的任何一面上，所以不存在拿不准的边界——阈值天然落在 3 和 4 之间。这就是阈值策略：最优策略只需要一个分界线，不用记任何额外状态。
这里有一个容易被忽略的约束在悄悄起作用：规则规定重扔之后必须接受第二次结果，没有第三次机会。正因为「反悔权」只有一层，「重扔」的价值才能用一个固定的 3.5 封死；如果可以无限重扔直到满意，期望值会一路逼近 6 元，题目也就成了另一道题。所以答题时先把约束念清楚——重扔只有一次、结果必须接受——再开始算，既避免自己跑偏，也让面试官看到你的前提意识。
算总账：按第一次的六种结果分段求期望。
第一次扔到 4、5、6 的概率各 1/6，收益就是点数本身；扔到 1、2、3 的概率合计 3/6，收益换成重扔的期望 3.5：
E* = 1/6×(4+5+6) + 3/6×3.5 = 2.5 + 1.75 = 4.25
干扰项 3.5 是「只有一次投掷」的期望——把重扔权利白白扔掉的价格；两个数一减，重扔这个选择权本身价值 0.75 元，这正是这道题真正想考的东西：期权的价值来自「坏结果可以重抽」。
解析解之外，用蒙特卡洛模拟把所有阈值扫一遍验证（Node.js 22.15.0，node dice.js）：
const roll = () => 1 + Math.floor(Math.random() * 6);
function play(threshold) { // 第一次 < threshold 就重扔
const first = roll();
return first >= threshold ? first : roll();
}
for (const t of [2, 3, 4, 5, 6, 7]) {
let sum = 0;
for (let i = 0; i < 1000000; i++) sum += play(t);
console.log(`阈值 ${t}（<${t} 重扔）: 模拟期望 ${(sum / 1000000).toFixed(4)}`);
}
const exact = (4 + 5 + 6) / 6 + (3 / 6) * 3.5;
console.log(`解析解 E* = ${exact}`);
实测输出：
阈值 2（<2 重扔）: 模拟期望 3.9181
阈值 3（<3 重扔）: 模拟期望 4.1662
阈值 4（<4 重扔）: 模拟期望 4.2488
阈值 5（<5 重扔）: 模拟期望 4.1680
阈值 6（<6 重扔）: 模拟期望 3.9172
阈值 7（<7 重扔）: 模拟期望 3.4989
解析解 E* = 4.25
一百万次模拟下阈值 4 跑出 4.2488，与解析解 4.25 吻合，而且整排阈值里只有它登顶——阈值抬高到 5，等于把「4」这种该收的结果也拿去赌，期望立刻掉回 4.17。模拟不仅验证答案，还验证了「阈值策略里最优的就是 4」这个更强的结论。
图 2：基准线、阈值决策表与期望汇总公式。
面试现场的答题结构与失分点。
先把「重扔值 3.5」这个基准线立起来，再讲阈值的由来，最后分段求和收尾，三分钟讲完。失分点有三个：一是直接答 3.5，把重扔权利当成白送的；二是把两次取平均，误以为收益是两次点数的均值——规则是只能拿一次；三是阈值定错，把 3 也算进「收下」。如果追问「能重扔两次呢」，思路不变，从后往前推：先算最后一扔值 3.5，再算倒数第二扔的阈值，每多一次机会基准线就抬高一次，这就是动态规划里的倒推法。你被问过类似的期望决策题吗？当时是倒推出来的还是正面硬算的？欢迎分享。