图 1：本文封面，合法路径与非法路径只差一条禁区线。
先说明属性：这是一篇笔试真题复盘，题目出自本地历史笔试资料，与任何公司的当前招聘无关。题面是：一个序列由 7 个 A 和 7 个 B 组成，要求任意前缀中 A 的个数不少于 B 的个数，问这样的序列有多少个。四个选项围着 429 打转，答案是 429——卡特兰数 C(7)。但直接背数列不算本事，把 429 推出来才是。
第一步：没有约束时，总数很好算。
14 个位置里挑 7 个放 A（剩下自然放 B），总数是组合数 C(14,7)=3432。麻烦的是「任意前缀 A 不少于 B」这个约束，它把计数问题变成了路径问题。
第二步：把序列画成格点路径。
从左下角 (0,0) 出发，每读到一个 A 就向右走一步，读到一个 B 就向上走一步，7 个 A、7 个 B 恰好走到 (7,7)。这时约束有了几何意义：任意前缀中 A 不少于 B，等价于路径上任意时刻「向右的步数 ≥ 向上的步数」，也就是路径始终不越过对角线 y=x 的上方。合法序列与「不越线的格点路径」一一对应，问题变成：数不越线的路径有多少条。
第三步：数非法的比数合法的容易——反射原理。
总数 3432 里减去非法路径就是答案，而非法路径有个漂亮的数法。非法路径必然在某个时刻第一次越线，也就是第一次碰到禁区线 y=x+1。抓住这个首触点，把路径从起点到首触点的这一段沿禁区线做镜面反射：起点 (0,0) 被反射到 (−1,1)，首触点不变，后半段原样保留。反射后的新路径从 (−1,1) 走到 (7,7)，需要向右 8 步、向上 6 步。
关键观察：这个反射是可逆的——任何一条从 (−1,1) 到 (7,7) 的路径必然碰到禁区线，把首触点之前那段反射回去，就唯一还原出一条非法路径。反射是双射而不是多对一，这正是整个证明的命脉：两个集合元素一一配对，数量必然相等。于是非法路径与「8 个 A、6 个 B 的全部排列」一一对应，数量是 C(14,6)=3003。这就是反射原理（也叫镜像法）：不直接数合法的，而是给非法的找一个好数的双射。
收尾：合法 = 总数 − 非法。
3432−3003=429，恰好等于 C(14,7)/(7+1)。一般形式就是卡特兰数 C(n)=C(2n,n)/(n+1)：n 个 A、n 个 B 的合法排列数，本题 n=7。
用代码对拍，把小规模也数一遍。
公式推导怕翻车，就让程序枚举小规模情形和公式逐项对拍：
// node catalan.js（Node.js 22 实测）
const C = (n, k) => { // 组合数
let r = 1;
for (let i = 0; i < k; i++) r = r * (n - i) / (i + 1);
return r;
};
const catalan = n => C(2 * n, n) / (n + 1);
function brute(n) { // 回溯枚举所有合法序列，剪枝即前缀约束
let cnt = 0;
(function dfs(a, b, diff) {
if (diff < 0) return;
if (a === n && b === n) { cnt++; return; }
if (a < n) dfs(a + 1, b, diff + 1);
if (b < n) dfs(a, b + 1, diff - 1);
})(0, 0, 0);
return cnt;
}
for (let n = 1; n <= 7; n++)
console.log(`n=${n} 公式=${catalan(n)} 枚举=${brute(n)}`);
实测输出从 n=1 到 n=7 公式与枚举完全一致：1、2、5、14、42、132、429。n=7 那一行同时给出总数 3432 与非法 3003，减法成立，答案坐实。
图 2：从组合总数到反射原理的三步推导与同源题型。
认识卡特兰数，一类题就有了锚点。
n 对括号的合法匹配数、n 个元素的出栈序列数、n 个节点的二叉树形态数，全是卡特兰数——它们都能归约成「任意前缀中一种符号不少于另一种」的计数：把左括号当 A、右括号当 B 就是原题；入栈当 A、出栈当 B 亦然；二叉树则靠递归分解 C(n)=ΣC(k)·C(n−1−k) 与卡特兰数共享同一个递推。反射原理的价值也不只在笔试：它是组合数学里「用双射把难数对象映射到好数对象」的范本，抽签问题、随机游走的首达概率里都能看到它的影子。
回到笔试现场，建议的答题结构：先报总数 C(14,7)，再讲格点路径转化，然后用反射原理数出非法 C(14,6)，相减得 429，最后点一句这是卡特兰数。四步走完，选择题做成了证明题。你还见过哪些表面无关、最后却归约到卡特兰数的题目？欢迎补充。