面试手写 sqrt(2) 到小数点后 10 位：一道老题教会你的三件事

图 1：本文封面，点明题目与两条解题路线。

先说明属性：这是一篇经典题解析，题目出自本地历史面试资料，并非任何公司的当前招聘原题。这类「禁用数学库、手写开方」的题目在手写代码环节反复出现，值得吃透。

想象你在面试现场，白板上写着：已知 sqrt(2) 约等于 1.414，不用数学库，把它精确到小数点后 10 位。

第一步，审题。

题目给了三个关键信息：禁用数学库，意味着只能用最基础的四则运算；「精确到小数点后 10 位」，意味着误差要小于 1e-10，这是终止条件；「已知约等于 1.414」，暗示答案落在 1 和 2 之间，给你初始区间。能看出这三点，题就解了一半。

第二步，基础回答：二分逼近。

sqrt(2) 满足 x² = 2，而平方运算我们会写。于是问题变成：在区间 [1, 2] 里找一个数，使它的平方尽量接近 2。每次取中点 mid，mid² 大于 2 就把右边界收到 mid，否则把左边界推到 mid。每迭代一次，区间宽度减半。初始宽度为 1，要让宽度小于 1e-10，约需 34 次迭代——因为 2 的 34 次方约 1.7e10，刚好压过精度要求。

核心逻辑用代码写出来只有几行（以下为解释性片段，仅说明二分步骤，不是完整程序）：

let lo = 1, hi = 2;
while (hi - lo > 1e-10) {
  const mid = (lo + hi) / 2;
  if (mid * mid > 2) hi = mid; else lo = mid;
}
// lo 与 hi 之间的任意值都满足精度要求

第三步，追问：还能更快吗？牛顿迭代。

把开方看成求 f(x) = x² - 2 = 0 的根，用切线逼近：x 更新为 (x + 2/x) 再除以 2。这个公式也叫巴比伦方法。它是平方收敛的——误差每一步大致平方一次，从初值 2 出发，四五步就能撞到 1e-10 以内。能主动从二分讲到牛顿，并说出收敛速度差异，通常就是这道题的加分点。

图 2：二分法与牛顿迭代逼近 sqrt(2) 的对比——前者每步缩半区间，后者平方收敛。

第四步，工程上怎么用。

这类迭代逼近不是纸上功夫：没有浮点开方指令的嵌入式环境、需要自定义精度的数值库、图形学里的快速逆平方根思路，都是同一族方法。对 AI 工程岗位来说，关联更直接——模型训练本质就是迭代逼近：每一轮更新参数、检查损失是否小于阈值，与这里「每一轮更新 x、检查误差」是同构的。收敛太快或太慢怎么调、什么时候该提前停止、精度目标定在哪才不浪费算力，这些训练日常问题在这道小题里都能找到雏形。理解收敛判据和精度控制，是理解训练循环的入门课。

回到面试现场，建议的答题节奏是：先复述题目确认精度要求，再给二分写出可运行逻辑，主动补牛顿迭代并对比收敛速度，最后用边界情况和易错点收尾。全程不超过十五分钟，但四层能力——建模、编码、分析、工程意识——都展示到了。

易错点清单。

一，终止条件写错：用 |x² - 2| 还是用区间宽度，量级不同，要和面试官确认或直接说明你的选择。二，精度和位数混淆：保留 10 位小数要求误差小于 1e-10，实现时阈值最好再收一位，避免四舍五入踩线。三，边界没处理：输入为 0、输入小于 1 时区间怎么取，能答出来才显得完整。四，浮点死循环：当 lo 和 hi 已经是相邻的浮点数，中点会等于端点之一，区间不再缩小，工程实现要加迭代次数上限兜底。五，牛顿法初值选得太差导致迭代变慢，虽然对本题都会收敛，但值得提一句。

到这里，白板上的答案、口头追问、工程延伸就都有了。这道题的价值不在于背下牛顿公式，而在于展示你把「无限逼近」翻译成「有限循环」的能力。

如果面试官把题目改成 sqrt(0.5) 或者 sqrt(1e20)，你的二分初始区间和牛顿初值会怎么调整？欢迎写出你的改法。

参考资料

• Node.js v22.x 官方 API 文档（运行环境说明） — https://nodejs.org/docs/latest-v22.x/api/